Être constructible ou non à la règle et au compas

Cette suite de vidéos se base sur le livre : "Geometry by Its History" de Alexander Ostermann et Gerhard Wanner, édition Springer, décembre 2011. ISBN : 978-3-642-29162-3
Pour la table des matières de ce livre et quelques informations, c.f. Springer

Elle traite du sujet :
"Être ou ne pas être constructible à la règle et au compas."

Je ferrai quelques constructions à la règle et au compas en utilisant le logiciel GeoGebra

Je traiterai la construction à la règle et au compas de quelques figures, montrerai l'équivalence entre des constructions géométriques et des constructions algébrique de nombres.

Je montrerai que certaines constructions à la règle et au compas sont possibles et prouverai que d'autres ne le sont pas.

Je justifierai l’équivalence entre :
° les points constructibles à la règle et au compas dans le plan.
° les nombres « exprimables de manière exacte », c’est-à-dire ceux exprimables à partir des rationnels, des quatre opérations + - * / et de l’extraction de la racine carrée.

Je montrerai que cos(20°) n’est pas « exprimable de manière exacte ».
Donc 20° n’est pas constructible à la règle et au compas.
J’en déduirai que 10°, 2° et 1° ne sont pas constructibles à la règle et au compas.
La question d'exprimer cos(1°) de "manière exacte" suit naturellement la vidéo que j'ai faite dans ma série sur la trigonométrie montrant que :

On a aussi :

Table de valeurs exactes d'évaluation de fonctions trigonométriques, de Wikipedia.

Je montrerai comment construire à la règle et au compas un polygone régulier à 5 côtés, à 17 côtés et d’autres.
Je montrerai qu’il n’est pas possible de construire à la règle et au compas un heptagone.

Le fichier montrant les détails des calculs liés à cette vidéo : constructible.pdf
La version LibreOffice (.odt) de ce fichier

Une playliste de 5 vidéos traitant du même sujet :

Pour ceux qui sont intéressés, voici les fichiers GeoGebra que j'ai utilisé dans cette vidéo.
compas_report.ggb, montre comment reporter une longueur à la règle et au compas.
constructible.ggb, montre comment additionner, soustraire, multiplier, diviser et extraire la racine carrée de longueurs déjà construites à la règle et au compas.
Milieu_deux_points_et_perpendiculaire.ggb, montre comment déterminer le milieu entre deux points et comment construire une perpendiculaire.
pentagone_construction.ggb, montre comment construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
pentagone.ggb, c'est juste un pentagone.
heptagone.ggb, c'est juste un heptagone.

Ma PLAYLIST de vidéos YouTube sur : "Être constructible ou non à la règle et au compas".

Voici les vidéos youtube que j'ai réalisées sur ce sujet :
#1 Introduction à la question : « Être exprimable ou non de manière exacte ? » :

#2 Report de longueur à la règle et au compas et point milieu :

#3 Équivalence entre " construire à la règle et au compas " et " être exprimable de manière exacte ". :

#4 L’angle 20° n’est pas constructible à la règle et au compas :

#5 Les angles 10°, 2° et 1° ne sont pas constructibles à la règle et au compas :

#6 Teste les arguments de la démonstration que cos(20°) n’est pas exprimable de manière exacte. :

Home

constructible.html

Mise à jour le 26 octobre 2023 par Libre Gisin.