\documentclass[a4paper,headsepline]{scrartcl} \usepackage{german,indentfirst} %\usepackage{t1enc} \usepackage{times} %\usepackage{newcent} \usepackage{exscale} \areaset{16cm}{24cm} \pagestyle{myheadings} %\markboth{\textsc{A. Einstein}}{Zur Elektrodynamik bewegter Körper} \markright{\textsc{A. Einstein.} Zur Elektrodynamik bewegter Körper} \newcommand{\vdV}{\frac{v}{V}} \newcommand{\vdVq}{\left(\vdV\right)^2} \newcommand{\sqem}{\sqrt{1-\vdVq}} \newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\T}{\textstyle} \renewcommand{\arraystretch}{2} \setlength{\arraycolsep}{2pt} \begin{document} %The special theory of relativity \begin{center} \Large Zur Elektrodynamik bewegter Körper;\\ \normalsize von \textsc{A. Einstein}\footnote{Abgedruckt aus Annalen der Physik 17 (1905),891-921} \end{center} Da"s die Elektrodynamik Maxwells --- wie dieselbe gegenwärtig aufgefa"st zu werden pflegt --- in ihrer Anwendung auf bewegte K"orper zu Asymmetrien f"uhrt, welche den Ph"anomenen nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z. B. an die elektrodynamische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Das beobachtbare Ph"anomen h"angt hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, w"ahrend nach der "ublichen Auffassung die beiden F"alle, da"s der eine oder der andere dieser K"orper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind. Bewegt sich n"amlich der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten ein elektrische Feld von gewissem Energiewerte, welches an den Orten, wo sich Teile des Leiters befinden, einen Strom erzeugt. Ruht aber der Magnet und bewegt sich der Leiter, so entsteht in der Umgebung des Magneten kein elektrisches Feld, dagegen im Leiter eine elektromotorische Kraft, welcher an sich keine Energie entspricht, die aber --- Gleichheit der Relativbewegung bei den beiden ins Auge gefa"sten F"allen vorausgesetzt --- zu elektrischen Str"omen von derselben Gr"o"se und demselben Verlaufe Veranlassung gibt, wie im ersten Falle die elektrischen Kr"afte. Beispiele "ahnlicher Art, sowie die mi"slungenen Versuche, eine Bewegung der Erde relativ zum "`Lichtmedium"' zu konstatieren, f"uhren zu der Vermutung, da"s dem Begriffe der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften der Erscheinungen entsprechen, sondern da"s vielmehr f"uht alle Koordinatensysteme, f"ur welche die mechanischen end optischen Gesetze gelten, wie dies f"ur die Gr"o"sen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Wir wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden "`Prinzip der Relativit"at"' genannt werden wird) zur Voraussetzung erheben und au"serdem die mit ihm nur scheinbar unvertr"agliche Voraussetzung einf"uhren, da"s sich das Licht im leeren Raume stets mit einer bestimmten, vm Bewegungszustande des emittierenden K"orpers unabh"angigen Geschwindigkeit $V$ fortpflanze. Diese beiden Voraussetzungen gen"ugen, um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter K"orper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie f"ur ruhende K"orper. Die Einf"uhrung eines "`Licht"athers"' wird sich insofern als "uberfl"ussig erweisen, als nach der zu entwickelnden Auffassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter "`absolut ruhender Raum"' eingef"uhrt, noch einem Punkte des leeren Raumes, in welchem elektromagnetische Prozesse stattfinden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird. Die zu entwickelnde Theorie st"utzt sich --- wie jede andere Elektrodynamik --- auf die Kinematik des starren K"orpers, da die Aussagen einer jeden Theorie Beziehungen zwischen starren K"orpern (Koordinatensystemen), Uhren und elektromagnetischen Prozessen betreffen. Die nicht gen"ugende Ber"ucksichtigung dieses Umstandes ist die Wurzel der Schwierigkeiten, mit denen die Elektrodynamik bewegter K"orper gegenw"artig zu k"ampfen hat. \section{Kinematischer Teil.} \subsection{Definition der Gleichzeitigkeit.} Es liege ein Koordinatensystem vor, in welchem die Newtonschen mechanischen Gleichungen gelten.% %\footnote{Gemeint ist: "`in erster Annäherung gelten"'.}. Wir nennen dies Koordinatensystem zur sprachlichen Unterscheidung von sp"ater enzuf"uhrenden Koordinatensystemen und zur Pr"azisierung der Vorstellung das "`ruhende System"'. Ruht ein materieller Punkt relativ zu diesem Koordinatensystem, so kann seine Lage relativ zu letzterem durch starre Ma"sst"abe unter Benutzung der Methoden der euklidischen Geometrie bestimmt und in kartesischen Koordinaten ausgedr"uckt werden. Wollen wir die \textit{Bewegung} eines materiellen Punktes beschreiben, so geben wir die Werte seiner Koordinaten in Funktion der Zeit. Es ist nun wohl im Auge zu behalten, da"s eine derartige mathematische Beschreibung erst dann einen physikalischen Sinn hat, wenn man sich vorher dar"uber klar geworden ist, was hier unter "`Zeit"' verstanden wird. Wir haben zu ber"ucksichtigen, da"s alle unsere Urteile, in welchen die Zeit eine Rolle spielt, immer Urteile "uber \textit{gleichzeitige Ereignisse} sind. Wenn ich z. B. sage: "`Jener Zug kommt hier um 7 Uhr an"', so hei"st dies etwa: "`Das Zeigen des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 und das Ankommen des Zuges sind gleichzeitige Ereignisse"'. %\footnote{Die Ungenauigkeit, welche in dem Begriff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse %an (annähernd) demselben Orte steckt und gleichfalls durch Abstraktion überbrückt werden %mu"s, soll hier nicht erörtert werden.} Es k"onnte scheinen, da"s alle die Definition der "`Zeit"' betreffenden Schwierigkeiten dadurch "uberwunden werden k"onnten, da"s ich an Stelle der "`Zeit"' die "`Stellung des kleinen Zeigers meiner Uhr"' setze. Eine solche Definition gen"ugt in der Tat, wenn es sich darum handelt, eine Zeit zu definieren ausschlie"slich f"ur den Ort, an welchem sich die Uhr eben befindet; die Definition gen"ugt aber nicht mehr, sobald es sich darum handelt, an verschiedenen Orten stattfindende Ereignisreihen miteinander zeitlich zu verknüpfen, oder --- was auf dasselbe hinausläuft --- Ereignisse zeitlich zu werten, welche in von der Uhr entfernten Orten stattfinden. Wir k"onnten uns allerdings damit begn"ugen, die Ereignisse dadurch zeitlich zu werten, da"s ein samt der Uhr im Koordinatenursprung befindlicher Beobachter jedem von einem zu wertenden Ereignis Zeugnis gebenden, durch den leeren Raum zu ihm gelangenden Lichtzeigen die entsprechende Uhrzeigerstellung zuordnet. Eine solche Zuordnung bringt aber den "ubelstand mit sich, da"s sie vom Standpunkte des mit der Uhr versehenen Beobachters nicht unabh"angig ist, wie wir durch die Erfahrung wissen. Zu einer weit praktischeren Festsetzung gelangen wir durch folgende Betrachtung. Befindet sich im Punkte $A$ des Raumes eine Uhr, so kann ein in $A$ befindlicher Beobachter die Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $A$ zeitlich werten durch Aufsuchen der it diesen Ereignissen Gleichzeitigen Uhrzeigerstellungen. Befindet sich auch im Punkte $B$ des Raumes eine Uhr --- wir wollen hinzuf"ugen, "`eine Uhr von genau derselben Beschaffenheit wie die in $A$ befindliche"' --- so ist auch eine zeitliche Wertung der Ereignisse in der unmittelbaren Umgebung von $B$ durch einen in $B$ befindlichen Beobachter m"oglich. Es ist aber ohne weitere Festsetzung nicht m"oglich, ein Ereignis in $A$ mit einem Ereignis in $B$ zeitlich zu vergleichen; wir haben bisher nur eine "`$A$-Zeit"' und eine "`$B$-Zeit"', aber keine f"ur $A$ und $B$ gemeinsame "`Zeit"' definiert. Die letztere Zeit kann nun definiert werden, indem man \textit{durch Definition} festsetzt, da"s die "`Zeit"', welche das Licht braucht, um von $A$ nach $B$ zu gelangen, gleich ist der "`Zeit"', welche es braucht, um von $B$ nach $A$ zu gelangen. Es gehe n"amlich ein Lichtstrahl zur "`$A$-Zeit"' $t_A$ von $A$ nach $B$ ab, werde zur "`$B$-Zeit"' $t_B$ in $B$ gegen $A$ zu reflektiert und gelange zur "`$A$-Zeit"' $t_A'$ nach $A$ zur"uck. Die beiden Uhren laufen definitionsgem"a"s synchron, wenn \[ t_B-t_A=t_A'-t_B. \] Wir Nehmen an, da"s diese Definition des Synchronismus in widerspruchsfreier Weise m"oglich sei, und zwar f"ur beliebig viele Punkte, da"s also allgemein die Beziehungen gelten: 1. Wenn die Uhr in $B$ synchron mit der Uhr in $A$ l"auft, so l"auft die Uhr in $A$ synchron mit der Uhr in $B$. 2. Wenn die Uhr in $A$ sowohl mit der Uhr in $B$ als auch mit der Uhr in $C$ synchron l"auft, so laufen auch die Uhren in $B$ und $C$ synchron relativ zueinander. Wir haben so unter Zuhilfenahme gewisser (gedachter) physikalischen Erfahrungen festgelegt, was unter synchron laufenden, an verschiedenen Orten befindlichen, ruhenden Uhren zu verstehen ist und damit offenbar eine Definition von "`gleichzeitig"' und "`Zeit"' gewonnen. Die "`Zeit"' eines Ereignisses ist die mit dem Ereignis gleichtzeitige Angabe einer am Orte des Ereignisses befindlichen, ruhenden Uhr, welche mit einer bestimmten, ruhenden Uhr, und zwar f"ur alle Zeitbestimmungen mit der n"amlichen Uhr, synchron l"auft. Wir setzen noch der Erfahrung gem"a"s fest, da"s die Gr"o"se \[ \frac{2\overline{AB}}{t_A'-t_A}=V \] eine universelle Konstante (die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raume) sei. Wesentlich ist, da"s wir die Zeit mittels im ruhenden System ruhender Uhren definiert haben; wir nennen die eben definierte Zeit wegen dieser Zugeh"origkeit zum ruhenden System "`die Zeit des ruhenden Systems"'. \subsection{"Uber die Relativit"at von L"angen und Zeiten.} Die folgenden "uberlegungen st"utzen sich auf das Relativit"atsprinzip und auf das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, welche beiden Prinzipien wir folgenderma"sen definieren. 1. Die Gesetze, nach denen sich die Zust"ande der physikalischen Systeme "andern, sind unabh"angig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichf"ormiger Translationsbewegung befindlichen Koordinatensystemen diese Zustands"anderungen bezogen werden. 2. Jeder Lichtstrahl bewegt sich im "`ruhenden"' Koorinatensystem mit der bestimmten Geschwindigkeit $V$, unabh"angig davon, ob dieser Lichtstrahl von einem ruhenden oder bewegten K"orper emittiert ist. Hierbei ist \[ \mathrm{Geschwindigkeit}=\frac{\mathrm{Lichtweg}}{\mathrm{Zeitdauer}}, \] wobei "`Zeitdauer"' im Sinne der Definition des \S 1 aufzufassen ist. Es sei ein ruhender starrer Stab gegeben; derselbe besitze, mit einem ebenfalls ruhenden Ma"sstabe gemessen, die L"ange $l$. Wir denken uns nun die Stabachse in die $X$-Achse des ruhenden Koordinatensystems gelegt und dem Stabe hierauf eine gleichf"ormige Paralleltranslationsbewegung (Geschwindigkeit $v$) l"angs der $X$-Achse im Sinne der wachsenden $x$ erteilt. Wir fragen nun nach der L"ange des \textit{bewegten} Stabes, welche wir uns durch folgende zwei Operationen ermittelt denken: a) Der Beobachter bewegt sich samt dem vorher genannten Ma"sstabe mit dem auszumessenden Stabe und mi"st direkt durch Anlegen des Ma"sstabes die L"ange des Stabes, ebenso, wie wenn sich auszumessender Stab, Beobachter und Ma"sstab in Ruhe bef"anden. b) Der Beobachter ermittelt mittels im ruhenden Systeme aufgestellter, gem"a"s \S 1 synchroner, ruhender Uhren, in welchen Punkten des ruhenden Systems sich Anfang und Ende des auszumessenden Stabes zu einer bestimmten Zeit $t$ befinden. Die Entfernung dieser beiden Punkte, gemessen mit dem schon benutzten, in diesem Falle ruhenden Ma"sstabe ist ebenfalls eine L"ange, welche man als "`L"ange des Stabes"' bezeichnen kann. Nach dem Relativit"atsprinzip mu"s die bei der Operation a) zu findende L"ange, welche wir "`die L"ange des Stabes im bewegten System"' nennen wollen, gleich der L"ange $l$ des ruhenden Stabes sein. Die bei der Operation b) zu findende L"ange, welche wir "`die L"ange des (bewegten) Stabes im ruhenden System"' nennen wollen, werden wir unter Zugrundelegung unserer beiden Prinzipien bestimmen und finden, da"s sie von $l$ verschieden ist. Die allgemein gebrauchte Kinematik nimmt stillschweigend an, da"s die durch die beiden erw"ahnten Operationen bestimmten L"angen einander genau gleich seien, oder mit anderen Worten, da"s ein bewegter starrer K"orper in der Zeitepoche $t$ in geometrischer Beziehung vollst"andig durch \textit{denselben} K"orper, wenn er in bestimmter Lage \textit{ruht}, ersetzbar sei. Wir denken uns ferner an den beiden Stabenden ($A$ und $B$) Uhren angebracht, welche mit den Uhren des ruhenden Systems synchron sind, d. h. deren Angaben jeweilen der "`Zeit des ruhenden Systems"' an den Orten, an welchen sie sich gerade befinden, entsprechen; diese Uhren sind also "`synchron im ruhenden System"'. Wir denken uns ferner, da"s sich bei jeder Uhr ein mit ihr bewegter Beobachter befinde, und da"s diese Beobachter auf die beiden Uhren das im \S 1 aufgestellte Kriterium f"ur den synchronen Gang zweier Uhren anwenden. Zur Zeit\footnote{"`Zeit"' bedeutet hier "`Zeit des ruhenden Systems"' und zugleich "`Zeigerstellung der bewegten Uhr, welche sich an dem Orte, von dem die Rede ist, befindet"'.} $t_A$ gehe ein Lichtstrahl von $A$ aus, werde zur Zeit $t_B$ in $B$ reflektiert und gelange zur Zeit $t_A'$ nach $A$ zur"uck. Unter Ber"ucksichtigung des Prinzipes von Konstanz der Lichtgeschwindigkeit finden wir: \[ t_B-t_A=\frac{r_{AB}}{V-v} \] und \[ t_A'-t_B=\frac{r_{AB}}{V+v} \] wobei $r_{AB}$ die L"ange des bewegten Stabes --- im ruhenden System gemessen --- bedeutet. Mit dem bewegten Stabe bewegte Beobachter w"urden also die beiden Uhren nicht synchron gehend finden, w"ahrend im ruhenden System befindliche Beobachter die Uhren als synchron laufend erkl"aren w"urden. Wir sehen also, da"s wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit keine \textit{absolute} Bedeutung beimessen d"urfen, sondern da"s zwei Ereignisse, welche, von einem Koordinatensystem aus betrachtet, gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System bewegten System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse aufzufassen sind. \subsection{Theorie der Koordinaten- und Zeittransformation von dem ruhenden auf ein relativ zu diesem in gleichf"ormiger Translationsbewegung befindliches System.} Seien im "`ruhenden"' Raume zwei Koordinatensysteme, d. h. zwei Systeme von je drei von einem Punkte ausgehenden, aufeinander senkrechten starren materiellen Linien, gegeben. Die $X$-Achsen beider Systeme m"ogen zusammenfallen, ihre $Y$- und $Z$-Achsen bez"uglich parallel sein. Jedem Systeme sei ein starrer Ma"sstab und eine Anzahl Uhren beigegeben, und es seien beide Ma"sst"abe sowie alle Uhren beider Systeme einander genau gleich. Es werde nun dem Anfangspunkte des einen der beiden Systeme ($k$) eine (konstante) Geschwindigkeit $v$ in Richtung der wachsenden $x$ des anderen, ruhenden Systems ($K$) erteilt, welche sich auch den Koordinatenachsen, dem betreffenden Ma"sstabe sowie den Uhren mitteilen m"oge. Jeder Zeit $t$ des ruhenden Systems $K$ entspricht dann eine bestimmte Lage der Achsen des bewegten Systems, und wir sind aus Symmetriegr"unden befugt anzunehmen, da"s die Bewegung von $k$ so beschaffen sein kann, da"s die Achsen des bewegten Systems zur Zeit $t$ (es ist mit "`$t$"' immer eine Zeit des ruhenden Systems bezeichnet) den Achsen des ruhenden Systems parallel seien. Wir denken uns nun den Raum sowohl vom ruhenden System $K$ aus mittels des ruhenden Ma"sstabes als auch vom bewegten System $k$ mittels des mit ihm bewegten Ma"sstabes ausgemessen und so die Koordinaten $x$, $y$, $z$ bzw. $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ermittelt. Es werde ferner mittels der im ruhenden System befindlichen ruhenden Uhren durch Lichtsignale in der in \S 1 angegebenen Weise die Zeit $t$ des ruhenden Systems f"ur alle Punkte des letzteren bestimmt, in denen sich Uhren befinden; ebenso werde die Zeit $\tau$ des bewegten Systems f"ur alle Punkte des bewegten Systems, in welchen sich relativ zu letzterem ruhende Uhren befinden, bestimmt durch Anwendung der in \S 1 genannten Methode der Lichtsignale zwischen den Punkten, in denen sich die letzteren Uhren befinden. Zu jedem Wertsystem $x$, $y$, $z$, $t$, welches Ort und Zeit eines Ereignisse im ruhenden System vollkommen bestimmt, geh"ort ein jenes Ereignis relativ zum System $k$ festlegendes Wertsystem $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $\tau$, und es ist nun die Aufgabe zu l"osen, das diese Gr"o"sen verkn"upfende Gleichungssystem zu finden. Zun"achst ist klar, die Gleichungen \textit{linear} sein müssen wegen der Homogänitätseigenschaften, welche wir Raum und Zeit beilegen. Setzen wir $x'=x-vt$, so ist klar, da"s einem im System $k$ ruhenden Punkte ein bestimmtes, von Zeit unabh"angiges Wertsystem $x'$, $y$, $z$ zukommt. Wir bestimmen zuerst $\tau$ als Funktion von $x'$, $y$, $z$ und $t$. Zu diesem Zwecke haben wir in Gleichungen auszudr"ucken, da"s $\tau$ nichts anderes ist als der Inbegriff der Angaben von im System $k$ ruhenden Uhren, welche nach der im \S 1 gegebenen Regel synchron gemacht worden sind. Vom Anfangspunkt des Systems $k$ aus werde ein Lichtstrahl zur Zeit $\tau_0$ l"angs der $X$-Achse nach $x'$ gesandt und von dort zur Zeit $\tau_1$ nach dem Koordinatenursprung reflektiert, wo er zur Zeit $\tau_2$ angelange; so mu"s dann sein: \[ \frac{1}{2}(\tau_0+\tau_2)=\tau_1 \] oder, indem man die Argumente der Funktion $\tau$ beif"ugt und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im ruhenden Systeme anwendet: \[ \frac{1}{2}\left[ \tau(0,0,0,t)+\tau \left( 0,0,0,\left\{ t+\frac{x'}{V-v}+\frac{x'}{V+v} \right\} \right) \right] =\tau\left(x',0,0,t+\frac{x'}{V-v}\right) \] Hieraus folgt, wenn man $x'$ unendlich klein w"ahlt: \[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{V-v}+\frac{1}{V+v}\right)\frac{\partial\tau}{\partial t}= \frac{\partial\tau}{\partial x'}+\frac{1}{V-v}\frac{\partial\tau}{\partial t}, \] oder \[ \frac{\partial\tau}{\partial x'}+ \frac{v}{V^2-v^2}\frac{\partial\tau}{\partial t}=0. \] Es ist zu bemerken, da"s wir statt des Koordinatenursprunges jeden anderen Punkt als Ausgangspunkt des Lichtstrahles h"atten w"ahlen k"onnen, und es gilt deshalb die eben erhaltene Gleichung f"ur alle Werte von $x'$, $y$, $z$. Eine analoge "Uberlegung --- auf die $H$-Achse und $Z$-Achse angewandt --- liefert, wenn man beachtet, da"s sich das Licht l"angs dieser Achsen vom ruhenden System aus betrachtet stets mit der Geschwindigkeit $\sqrt{V^2-v^2}$ fortpflanzt: \begin{eqnarray*} \frac{\partial\tau}{\partial y}&=&0\\ \frac{\partial\tau}{\partial z}&=&0\\ \end{eqnarray*} Aus diesen Gleichungen folgt, da $\tau$ eine \textit{lineare} Funktion ist: \[ \tau=a\left(t-\frac{v}{V^2-v^2}x'\right), \] wobei $a$ eine vorl"aufig unbekannte Funktion $\varphi(v)$ ist und der K"urze haber angenommen ist, da"s im Anfangspunkte von $k$ f"ur $\tau=0\quad t=0$ sei. Mit Hilfe dieses Resultates ist es leicht, die Gr"o"sen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zu ermitteln, indem man durch Gleichungen ausdr"uckt, da"s sich das Licht (wie das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Verbindung mit dem Relativit"atsprinzip verlangt) auch im bewegten System gemessen mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt. F"ur einen zur Zeit $\tau$=0 in Richtung der wachsenden $\xi$ ausgesandten Lichtstrahl gilt: \[ \xi=V\tau, \] oder\[ \xi=aV\left(t-\frac{v}{V^2-v^2}x'\right). \] Nun bewegt sich aber der Lichtstrahl relativ zum Anfangspunkt von $k$ im ruhenden System gemessen mit der Geschwindigkeit $V-v$, so da"s gilt: \[ \frac{x'}{V-v}=t. \] Setzen wir diesen Wert von $t$ in die Gleichung f"ur $\xi$ ein, so erhalten wir: \[ \xi=a\frac{V^2}{V^2-v^2}x'. \] Auf analoge Weise finden wir durch Betrachtung von l"angs den beiden anderen Achsen bewegte Lichtstrahlen: \[ \eta=V\tau=aV\left(t-\frac{v}{V^2-v^2}x'\right), \] wobei \[ \frac{y}{\sqrt{V^2-v^2}}=t; \quad x'=0; \] also \[ \eta=a\frac{V}{\sqrt{V^2-v^2}}y \] und \[ \xi=a\frac{V}{\sqrt{V^2-v^2}}z. \] Setzen wir f"ur $x'$ seinen Wert ein, so erhalten wir: \begin{eqnarray*} \tau&=&\varphi(v)\beta\left(t-\frac{v}{V^2}x\right),\\ \xi&=&\varphi(v)\beta(x-vt),\\ \eta&=&\varphi(v)y,\\ \zeta&=&\varphi(v)z, \end{eqnarray*} wobei \[ \beta=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}} \] und $\varphi$ eine vorl"aufig unbekannte Funktion von $v$ ist. Macht man "uber die Anfangslage des bewegten Systems und "uber den Nullpunkt von $\tau$ keinerlei Voraussetzung, so ist auf den rechten Seiten dieser Gleichungen je eine additive Konstante zuzuf"ugen. Wir haben nun zu beweisen, da"s jeder Lichtstrahl sich, im bewegten System gemessen, mit der Geschwindigkeit $V$ fortpflanzt, falls dies, wie wir angenommen haben, im ruhenden System der Fall ist; denn wir haben den Beweis daf"ur noch nicht geliefert, da"s das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativit"atsprinzip vereinbar sei. Zur Zeit $t=\tau=0$ werde von dem zu dieser Zeit gemeinsamen Koordinatenursprung beider Systeme aus eine Kugelwelle ausgesandt, welche sich im System $K$ mit der Geschwindigkeit $V$ ausbreitet. Ist ($x$, $y$, $z$) ein eben von dieser Welle ergriffener Punkt, so ist also \[ x^2+y^2+z^2=V^2t^2. \] Diese Gleichung transformieren wir mit Hilfe unserer Transformationsgleichungen und erhalten nach einfacher Rechnung: \[ \xi^2+\eta^2+\zeta^2=V^2\tau^2. \] Die betrachtete Welle ist also auch im bewegten System betrachtet eine Kugelwelle von der Ausbreitungsgeschwindigkeit $V$. Hiermit is gezeigt, da"s unsere beiden Grundprinzipien miteinander vereinbar sind% %\footnote{Die Gleichungen der Lorentz-Transformation sind einfacher direkt aus der Bedingung %abzuleiten, da"s vermöge jeder Gleichung die Beziehung $\xi^2+\eta^2+\zeta^2-V^2\tau^2=0$ %die andere $x^2+y^2+z2-V^2t^2=0$ zur Folge haben soll.}. In den entwickelten Transformationsgleichungen tritt noch eine unbekannte Funktion $\varphi$ von $v$ auf, welche wir nun bestimmen wollen. Wir f"uhren zu diesem Zwecke noch ein drittes Koordinatensystem $K'$ ein, welches relativ zum System $k$ derart in Paralleltranslationsbewegung parallel zur $\Xi$-Achse begriffen sei, da"s sich dessen Koordinatenursprung mit der Geschwindigkeit $-v$ auf der $\Xi$-Achse bewege. Zur Zeit $t=0$ m"ogen alle drei Koordinatenanfangspunkte zusammenfallen und es sei f"ur $t=x=y=z=0$ die Zeit $t'$ des Systems $K'$ gleich Null. Wir nennen $x'$, $y'$, $z'$ die Koordinaten, im System $K'$ gemessen, und erhalten durch zweimalige Anwendung unserer Transformationsgleichungen: \[ \begin{array}{r@{\:=\:}l@{\:=\:}l} t' & \varphi(-v)\beta(-v)\left\{\tau+\frac{v}{V^2}\xi\right\} &\varphi(v)\varphi(-v)t, \\ x' & \varphi(-v)\beta(-v)\{\xi+vt\} &\varphi(v)\varphi(-v)x, \\ y' & \varphi(-v)\eta & \varphi(v)\varphi(-v)y, \\ z' & \varphi(-v)\zeta & \varphi(v)\varphi(-v)z. \end{array} \] Da die Beziehungen zwischen $x'$, $y'$, $z'$ und $x$, $y$, $z$ die Zeit $t$ nicht enthalten, so ruhen die Systeme $K$ und $K'$ gegeneinander, und es ist klar, da"s die Transformation von $K$ auf $K'$ die identische Transformation sein mu"s. Es ist also: \[ \varphi(v)\varphi(-v)=1. \] Wir fragen nun nach der Bedeutung von $\varphi(v)$. Wir fassen das St"uck der $H$-Achse des Systems $k$ ins Auge, das zwischen $\xi=0$, $\eta=0$, $\zeta=0$ und $\xi$=0, $\eta=l$, $\zeta=0$ gelegen ist. Dieses St"uck der $H$-Achse ist ein relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu seiner Achse bewegter Stab, dessen Enden in $K$ die Koordinaten besitzen: \[ x_1=vt,\quad y_1=\frac{l}{\varphi(v)},\quad z_1=0 \] und \[ x_2=vt,\quad y_2=0,\quad z_2=0. \] Die L"ange des Stabes, in $K$ gemessen, ist also $l/\varphi(v)$; damit ist die Bedeutung der Funktion $\varphi$ gegeben. Aus Symmetriegr"unden ist nun einleuchtend, da"s die im ruhenden System gemessene L"ange eines bestimmten Stabes, welcher senkrecht zu seiner Achse bewegt ist, nur von der Geschwindigkeit, nicht aber von der Richtung und dem Sinne der Bewegung abh"angig sein kann. Es "andert sich also die im ruhenden System gemessene L"ange des bewegten Stabes nicht, wenn $v$ mit $-v$ vertauscht wird. Hieraus folgt: \[ \frac{l}{\varphi(v)}=\frac{l}{\varphi(-v)} \] oder \[ \varphi(v)=\varphi(-v). \] Aus dieser und der vorhin gefundenen Relation folgt, da"s $\varphi(v)=1$ sein mu"s, so da"s die gefundenen Transformationsgleichungen "ubergehen in: \begin{eqnarray*} \tau&=&\beta \left( t-\frac{v}{V^2}x \right),\\ \xi&=&\beta(x-vt),\\ \eta&=&y,\\ \zeta&=&z, \end{eqnarray*} wobei \[ \beta=\frac{1}{ \sqrt{ 1-\left( \frac{v}{V} \right)^2 }}. \] \subsection{Physikalische Bedeutung der erhalten Gleichungen, bewegte starre K"orper und bewegte Uhren betreffend.} Wir betrachten eine starre Kugel\footnote{Das hei"st ein Körper, welcher ruhend untersucht Kugelgestalt besitzt.} vom Radius $R$, welche relativ zum bewegten System $k$ ruht, und deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung von $k$ liegt. Die Gleichung der Oberfl"ache dieser relativ zum System $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten Kugel ist: \[ \xi^2+\eta^2+\zeta^2=R^2 \] Die Gleichung dieser Oberfl"ache ist in $x$, $y$, $z$ ausgedr"uckt zur Zeit $t$=0: \[ \frac{x^2}{\left(\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}\right)^2}+y^2+z^2=R^2. \] Ein starrer K"orper, welcher in ruhendem Zustande ausgemessen die Gestalt einer Kugel hat, hat also in bewegtem Zustande --- vom ruhenden System aus betrachtet --- die Gestalt eines Rotationsellipsoides mit den Achsen \[ R\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}, R, R. \] W"ahrend also die $Y$- und $Z$-Dimension der Kugel (also auch jedes starren K"orpers von beliebiger Gestalt) durch die Bewegung nicht modifiziert erscheinen, erscheint die $X$-Dimension im Verh"altnis $1: \sqrt{1-(v/V)^2}$ verk"urzt, also um so st"arker, je gr"o"ser $v$ ist. F"ur $v$ = $V$ schrumpfen alle bewegten Objekte --- vom "`ruhenden"' System aus betrachtet --- in fl"achenhafte Gebilde zusammen. F"ur "Uberlichtgeschwindigkeiten werden unsere "Uberlegungen sinnlos; wir werden "ubrigens in den folgenden Betrachtungen finden, da"s die Lichtgeschwindigkeit in unserer Theorie physikalisch die Rolle der unendlich gro"sen Geschwindigkeit spielt. Es ist klar, da"s die gleichen Resultate von im "`ruhenden"' System ruhenden K"orper gelten, welche von einem gleichf"ormig bewegten System aus betrachtet werden. --- Wir denken uns ferner eine der Uhren, welche relativ zum ruhenden System ruhend die Zeit $t$, relativ zum bewegten System ruhend die Zeit $\tau$ anzugeben bef"ahigt sind, im Koordinatenursprung von $k$ gelegen und so gerichtet, da"s sie die Zeit $\tau$ angibt. Wie schnell geht diese Uhr, vom ruhenden System aus betrachtet? Zwischen die Gr"o"sen $x$, $t$ und $\tau$, welche sich auf den Ort dieser Uhr beziehen, gelten offenbar die Gleichungen: \[ \tau=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}\left(t-\frac{v}{V^2}x\right) \] und \[ x=vt. \] Es ist also \[ \tau=t\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}=t-\left(1-\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}\right)t, \] woraus folgt, da"s die Angabe der Uhr (im ruhenden System betrachtet) pro Sekunde um $(1-\sqrt{1-(v/V)^2})$ Sek. oder --- bis auf Gr"o"sen vierter und h"oherer Ordnung --- um $\frac{1}{2}(v/V)^2$ Sek. zur"uckbleibt. Hieraus ergibt sich folgende eigent"umliche Konsequenz. Sind in den Punkten $A$ und $B$ von $K$ ruhende, im ruhenden System betrachtet, synchron gehende Uhren vorhanden, und bewegt man die Uhr in $A$ mit der Geschwindigkeit $v$ auf der Verbindungslinie nach $B$, so gehen nach Ankunft dieser Uhr in $B$ die beiden Uhren nicht mehr synchron, sondern die von $A$ nach $B$ bewegte Uhr geht gegen"uber der von Anfang an in $B$ befindlichen um $\frac{1}{2}tv^2/V^2$ Sek. (bis auf Gr"o"sen vierter und h"oheren Ordnung) nach, wenn $t$ die Zeit ist, welche die Uhr von $A$ nach $B$ braucht. Man sieht sofort, da"s dies Resultat auch dann noch gilt, wenn die Uhr in einer beliebigen polygonalen Linie sich von A nach B bewegt, und zwar auch dann, wenn die Punkte $A$ und $B$ zusammenfallen. Nimmt man an, da"s das f"ur eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch f"ur eine stetig gekr"ummte Kurve gelte, so erh"alt man den Satz: Befinden sich in $A$ zwei synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer geschlossenen Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach $A$ zur"uckkommt, was $t$ Sek. dauern m"oge, so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft in $A$ gegen"uber der unbewegt gebliebenen um $\frac{1}{2}t(v/V)^2$ Sek. nach. Man schlie"st daraus, da"s eine am Erd"aquator befindliche Unruhuhr %\footnote{Im Gegensatz zu "`Pendeluhr"', welche --- physikalisch betrachtet -- ein System ist, %zu welchem der Erdkörper gehört; dies mu"ste ausgeschlossen werden.} um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen mu"s als eine genau gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr. \subsection{Additionstheorem der Geschwindigkeiten.} In dem l"angs der $X$-Achse des Systems $K$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegten System $k$ bewege sich ein Punkt gem"a"s den Gleichungen: \begin{eqnarray*} \xi & = & w_\xi\tau, \\ \eta & = & w_\eta\tau, \\ \zeta & = & 0, \end{eqnarray*} wobei $w_\xi$ und $w_\eta$ Konstanten bedeuten. Gesucht ist die Bewegung des Punktes relativ zum System $K$. F"uhrt man in die Bewegungsgleichungen des Punktes mit Hilfe der in \S 3 entwickelten Transformationsgleichungen die Gr"o"sen $x$, $y$, $z$, $t$ ein, so erh"alt man: \begin{eqnarray*} x&=&\frac{w_\xi+v}{1+\frac{vw_\xi}{V^2}}t,\\ y&=&\frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2}}{1+\frac{vw_\xi}{V^2}}w_\eta t,\\ z&=&0. \end{eqnarray*} Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt also nach unserer Theorie nur in erster Ann"aherung. Wir setzen: \begin{eqnarray*} U^2&=&\left(\frac{d x}{d t}\right)^2+\left(\frac{d y}{d t}\right)^2,\\ w^2&=&w_\xi^2+w_\eta^2 \end{eqnarray*} und \begin{eqnarray*} \alpha&=&\arctan\frac{w_y}{w_x}; \end{eqnarray*} $\alpha$ ist dann als der Winkel zwischen den Geschwindigkeiten $v$ und $w$ anzusehen. Nach einfacher Rechnung ergibt sich: \[ U=\frac{\sqrt{(v^2+w^2+2vw\cos\alpha)-\left(\frac{vw\sin\alpha}{V}\right)^2}}{1+\frac{vw\cos\alpha}{V^2}}. \] Es ist bemerkenswert, da"s $v$ und $w$ in symmetrischer Weise in den Ausdruck f"ur die resultierende Geschwindigkeit eingehen. Hat auch $w$ die Richtung der $X$-Achse ($\Xi$-Achse), so erhalten wir: \[ U=\frac{v+w}{1+\frac{vw}{V^2}}\,. \] Aus dieser Gleichung folgt, da"s aus der Zusammensetzung zweier Geschwindigkeiten, welche kleiner sind als $V$, stets eine Geschwindigkeit kleiner als $V$ resultiert. Setzt man n"amlich $v=V-\kappa$, $w=V-\lambda$, wobei $\kappa$ und $\lambda$ positiv und kleiner als $V$ seien, so ist: \[ U=V\frac{2V-\kappa-\lambda}{2V-\kappa-\lambda+\frac{\kappa\lambda}{V}}